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Este site foi desenvolvido exclusivamente para que possamos discutir, refletir e analisar, Arranjos e combinações.

Prof. José Edson 

FATORIAL

      Para tornar mais práticas a representação e a execução dos cálculos relativos aos problemas de contagem, vamos introduzir um novo conceito; o produto n(n-1)(n-2)...3.2.1 é chamado n fatorial, ou fatorial de n, representado por n!

              n! = n(n-1)(n-2)...3.2.1 (n Є N)

Exemplos:

1. 5! = 5.4.3.2.1 = 120

2. 4! = 4.3.2.1 = 24

3. (n-2)! = (n-2)(n-3)!

4. n! = n(n-1)(n-2)

5. 7!/5! = 7!..6!.5!/5! = 7.6 = 42

PERMUTAÇÕES SIMPLES

 Exemplos:

suponhamos a seguinte questão; quantos numeros , de 3 algarismos distintos, podemos formar com os digitos 4, 5 e 9?

* temos, então o conjunto A = { 4,5,9} e usando cada elemento de A apenas uma vez em cada dos agrupamentos, devemos formar números com 3 algarismos

* teremos que usar todos os elementos de A e formar agrupamentos que serão distinguidos apenas pela ordem em que os elementos aparecem.

* esses agrupamentos sao chamados permutações dos 3 elementos de A. as permutações  dos 3 elementos de A são as ternas ordenadas (4,5,9),(4,9,5),(9,5,4),(9,4,5)(5,4,9)(5,9,4) e são os seis numeros que podemos formar: 459, 495, 954,945,549 e 594.

1. Três cavalos disputam um páreo. Qual o número de resultados possiveis?

  * seja A = { c₁,c₂,c₃} o conjunto formado pelos cavalos. As sucessões que podem ser formadas com os 3 elementos de A são.

(c₁,c₂,c₃), (c₁,c₃,c₂), (c₂,c₁,c₃), (c₂,c₃,c₁), (c₃,c₁,c₂), (c₃,c₂,c₁)  á cada termo corresponde um resultado possível do páreo, então o número de resultados possíveis é, pois 6.

Na permutação simples: dados n objetos distintos, a₁,a₂,...,a_n  podemos ordená-los de n(n-1)(n-2)...1, modos. Cada ordenação dos n objetos é chamada permutação simples.

P_n = n(n-1)(n-2)...1 = n!                    P_n = n!

2. Para obter os anagramas da palavra CASTILHO basta permutar suas 8 letras entre si. O número de anagramas é P₈ =8! = 40320

3. Consideremos a palavra PERNAMBUCO. Vamos determinar:

a) quantos anagramas podemos formar;      __ __ __ __ __ __ __ __ __ __     Com 10 letras distintas, que trocam de posição entre si, temos P₁₀ = 10! anagramas.

10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 = 362880 anagramas

b) quantos anagramas começam com a letra P.        P __ __ __ __ __ __ __ __ __

P₉ = 9!                           9! = 9.8.7.6.5.4.3.2.1 = 362880      então obteremos 362880 anagramas

COMBINAÇÕES SIMPLES

Dados o conjunto { a₁,a₂,...a_n} com n objetos distintos, podemos formar subconjuntos com p elementos. Cada subconjunto com p elementos é chamado combinações simples.

Representamos por C_n,p o numero de combinações de n objetos tomados p a p. Por exemplo, as combinações simples de 3 dos 4 objetos a₁,a₂,a₃,a₄  são: {a₁,a₂,a₃}{a₁,a₂,a₄}{a₁,a₃,a₄}{a₂,a₃,a₄} Assim, C_4,3 = 4

    C_n,p = n!/p!(n-p)!

Exemplos

Vamos calcular o número de comissões compostas de 3 alunos que podemos formar a partir de um grupo de 5 alunos. Cada comissão difere das outras apenas pela natureza. assim, o número de comissões.

C = 5!/3!(5-2)! = 5!/ 3!2! =  5.4.3!/3!2! = 10 comissões

Calculemos o número de comissões com 2 professores e 3 alunos, que podem ser formadas a partir de um grupo de 5 professores e 8 alunos. Para escolher os professores temos C_5,2 possibilidades , e para cada uma delas temos C_8,3 possibilidades de escolher os alunos. Portanto, o número de comissões é:

C_5,2 . C_8,3 = 10.56 = 560 comissões

Na seleção brasileira de futebol, existem 8 jogadores de ataque, 6 de meio-campo, 6 defensores e 3 goleiros. Quantos times diferentes podem ser formados utilizando-se 1 goleiro, 4 defensores, 3 meio-campistas e 3 atacantes.  Para escolher temos as seguintes possibilidades:  goleiro, C_3,1 ; defensores, C_6,4 ; meio-campistas, C_6,3  e atacantes, C_8,3   nessas condições.

C_3,1 . C_6,4 . C_6,3  . C_8,3 =  3. 15. 20. 56  = 50400 times

NOÇÃO DE PROBABILIDADES

 EXPERIMENTOS ALEATÓRIOS

      Se abandonamos um dado de um ponto situado a 90cm acima da superfície de uma mesa, é certo que ele se movera verticalmente para baixo e é certo que sua velocidade ao tocar a mesa será aproximadamente 4,2 m/s, mas não podemos afirmar sobre a face que ficará voltada para cima, depois de atingido o repouso.

Os experimentos:

(1) abandonar um dado e descrever o seu movimento;

(2) Abandonar um dado e encontrar a velocidade aproximada com que ele toca a mesa, é chamado de experimentos determinísticos, são governados por leis conhecidas que dão informações precisas e conhecidas.

(3) Abandonar um dado e anotar o numero da face que ficara voltada para cima, é chamado experimento aleatório, seu resultado não pode ser determinado antes de realizá-lo.

Exemplo;

Num grupo de 15 lâmpadas, 3 são defeituosas. Consideremos o experimento: “ uma lâmpada é escolhida ao acaso e observamos se é ou não defeituosa”. Trata-se de um experimento aleatório com dois resultados possíveis:

 d: a lâmpada escolhida é defeituosa.

b; a lâmpada escolhida é boa.

      Como há muito mais lâmpadas boas (12) que defeituosas (3), dizemos que é mais provável que a lâmpada escolhida seja boa, mais objetivamente, podemos ainda dizer que a probabilidade de a lâmpada escolhida ser boa é quatro vezes maior que a probabilidade de ser defeituosa. Após o estudo que iniciaremos agora, diremos: “ a probabilidade de a lâmpada escolhida ser boa é de 0,8; a probabilidade se der defeituosa é 0,2”.

   ESPAÇO AMOSTRAL E EVENTO

  espaço amostral de um experimento aleatório é o conjunto dos resultados possíveis para aquele experimento.

Exemplos.

1. Quando lançamos uma moeda, temos duas possibilidades:

obter cara;  obter coroa.

Logo, o espaço amostral doexperimento será:

E = { cara, coroa}

2. Jogando um dado ideal e anotando a face voltada para cima, teremos o seguinte espaço amostral:

E = { 1,2,3,4,5,6}  Qualquer subconjunto do espaço amostral chama-se evento.

Exemplos. 

Lançando uma moeda duas vezes seguidas, temos o seguinte espaço amostral; E = {(cara, cara);(cara,coroa);(coroa,cara)(coroa,cara)}   São exemplos de eventos: 

*obter 2 caras: A = {(cara,cara)}

*obter ao menos 1 cara: B= {(cara,cara,);(cara,coroa);(coroa,cara)}

Probabilidade de um Evento

   Probabilidade de um evento A representa a “chance de ocorrer um evento A, o valor p(A) é igual ao numero de elementos de A dividido pelo numero de elemento do espaço amostral E.

 P(A) = números de elementos de A/números de elementos de E

Exemplos:

1. Vamos calcular a probabilidade de, jogando um dado ideal obter um numero maior que 4:

Espaço amostral: E ={1,2,3,4,5,6}   evento: A = {5,6}

n(A) = 2;        n(E) = 6;        p(A) = 2/6;     p(A) = 1/3

2. Dispondo de baralho completo vamos determinar a probabilidade de retirar ao acaso uma carta de ouros.

Espaço amostral: E={ são as 52 cartas, que são 13 cartas de cada naipes};   Evento de A = { 13 cartas de ouro}

n(E) = 52;      n(A) = 13;      p(A) = 13/52;      p(A) = ¼

3. Em uma urna há 20 bolas, numeradas de 1 a 20. Retira-se uma bola ao acaso. Calcule a probabilidade de seu numero ser:

a) impar;

Espaço amostral: E = {1,2,3,4,5,6,7,8,910,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20}  

Evento A = {1,3,5,7,9,11,13,15,17,19}

   n(A) = 10;     n(E) = 20;     p(A) = 10/20;      p(A) = ½.

 b) múltiplo de 3;

E ={1,2,3,4,5,6,7,8,910,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20}  

evento B = { 3,6,9,12,15,18}

   n(B) = 6;     n(E) = 20;     p(B) = 6/20;      p(B) = 3/10.

c) divisível por 2 e 3;

E = {1,2,3,4,5,6,7,8,910,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20}    

evento C = {6,12,18}

   n(C) = 3;     n(E) = 20;     p(C) = 3/20.

d) primo.

E = {1,2,3,4,5,6,7,8,910,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20}      

evento D = {2,3,5,7,11,13,17,19}

   n(D) = 8;      n(E) = 20;      p(D) = 8/20;    p(D) = 2/5.